半環の例
- $(\mathbb{N}, \min, +)$, $(\mathbb{N}, \max, +)$ (min plus, max plus)
- $(\mathbb{N}, \gcd, \times)$, $(\mathbb{N}, \operatorname{lcm}, \times)$
- a × gcd(b, c) = gcd(a × b, a × c)
- lcm の方は、lcm も mul も単位元が1なのに注意?(これは半環になる?)
- $(\mathbb{Z}\cup\{+\infty, -\infty\}, \min, \max)$
- ($[2^{64}]$, or, and)
- ($[2^{64}]$, xor, and)
- 環である。
- これは $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^{64}$ と同型 (bit ごとに考える)
半環の応用例