かつ/または と min/max

• $A \leq B_1 \text{ かつ } A\leq B_2 \iff A\leq \min(B_1, B_2)$
• $A \leq B_1 \text{ または } A\leq B_2 \iff A\leq \max(B_1, B_2)$
• $A_1 \leq B \text{ かつ } A_2\leq B \iff \max(A_1,A_2)\leq B$
• $A_1 \leq B \text{ または } A_2\leq B \iff \min(A_1, A_2)\leq B$

不等号の左側は反変、右側は共変になってる。

$\min$ は $\land$ , $\max$ は $\lor$ って書くこともある

• 圏論における解釈

∀/∃ と min/max

$X$ は空でない有限集合とし、$Y$ を全順序集合、$f\colon X \to Y$ とする。

• $\forall x \in X\ f(x) \leq y \iff \max_{x \in X} f(x) \leq y$
• $\exists x \in X\ f(x) \leq y \iff \min_{x \in X} f(x) \leq y$
• $\forall x \in X\ y \leq f(x) \iff y \leq \min_{x \in X} f(x)$
• $\exists x \in X\ y \leq f(x) \iff y \leq \max_{x \in X} f(x)$

図を書くと分かりやすそう（f(x) プロットして y の線を引く）

min/max の分配法則

$\max(a, \min(b, c)) = \min(\max(a, b), \max(a, c))$