todo: 四捨五入の話も書く。

床関数・天井関数の定義

$x\in \mathbb{R}$ とする。

• 定義1
  • $\lfloor x \rfloor = \max\{n \in \mathbb{Z} \mid n \leq x\}$
  • $\lceil x \rceil = \min \{ n \in \mathbb{Z} \mid x \leq n\}$
• 定義2
  • $n\leq x < n+ 1$ を満たす唯一の整数 $n$ を $\lfloor x \rfloor$ と定義する。
  • $n -1 < x \leq n$ を満たす唯一の整数 $n$ を $\lceil x \rceil$ と定義する

床関数・天井関数の証明テクニック

• $a=b$ を示す代わりに $n\leq a \iff n \leq b$ の同値性を示す
  • 詳細: 順序集合論
  • 機械的な導出がしやすい利点があるが、和が扱いにくいのが欠点
• $\lfloor x \rfloor$ に対して、$x$ の整数部分と小数部分に分ける。
  • とくに $\lfloor a/b \rfloor$ の場合は、$a \bmod b$ を考える（$a = b\lfloor a/b \rfloor + a\bmod b$）

床関数・天井関数の性質

• 単調性

  $x \leq y$ ならば $\lfloor x \rfloor \leq \lfloor y \rfloor$

  特に、$x$ が整数のとき、$x \leq \lfloor y \rfloor$ が言えたりする。

  $\lceil \cdot \rceil$ も同様。

• 随伴

  $n \in \mathbb{Z}$ と $x \in \mathbb{R}$ について以下が成り立つ。

  • $n \leq x \iff n \leq \lfloor x \rfloor$
  • $x \leq n \iff \lceil x\rceil \leq n$

  同値の左側は $\mathbb{R}$ での比較、右側は $\mathbb{Z}$ での比較である。つまり、$\mathbb{R}$ での比較が $\mathbb{Z}$ での比較に帰着できるという命題である。

  床関数・天井関数はこれらを満たす $\mathbb{R}\to \mathbb{Z}$ の単調増加関数として特徴づけできる

  • 余談: 圏論的な解釈

• 随伴の対偶

  • $n < x \iff n < \lceil x \rceil$
  • $x < n \iff \lfloor x \rfloor< n$

  証明: 対偶を取ると随伴の式になる

• $\lfloor x + y\rfloor \geq \lfloor x\rfloor + \lfloor y\rfloor$

  • ガウス記号の定義と３つの性質 | 高校数学の美しい物語
  • 右辺 - 左辺は 0 または 1 である。

• $\lceil x \rceil = - \lfloor - x\rfloor$, $\lfloor - x\rfloor = -\lceil x \rceil$

  • 証明

• $\lfloor x \rfloor = n \iff n \leq x < n+1$

• 天井関数を床関数で表す

  • $\displaystyle \left\lceil\frac{a}{b}\right\rceil= \left\lfloor \frac{a + b-1}{b} \right \rfloor$ （$b > 0$ のとき）
    • 証明1
    • 証明2

• $f$ が単調増加な連続関数で「$f(x)$ が整数ならば $x$ が整数」のとき $\lfloor f(x) \rfloor =\lfloor f(\lfloor x \rfloor) \rfloor$

• $b$ が整数のとき$\displaystyle \left\lfloor \frac{\lfloor x/a \rfloor}{b} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{x}{ab}\right\rfloor$

  • 証明
  • 出題例
    • ABC350 E の解説

• $\lfloor 2x \rfloor= \lfloor x \rfloor + \lfloor x + 1/2 \rfloor$