$(X, \leq),\ (Y, \leq)$ を半順序集合とする
$x \in X$ に対して、$\downarrow x = \{l \in X \mid l \leq x\}$ を $x$ の 下方閉包 という。
$\downarrow$ は単射（埋め込み）になっている（米田埋込みの特殊ケース）
$x=y$ を示すより、下方閉包で埋め込んだ ${\downarrow x} = {\downarrow y}$ を示すほうが簡単な場合がある
(上方閉包も同様に定義できる）
$f\colon X\to Y$ を単調写像とする。
以下の条件を満たす単調写像 $g\colon Y \to X$ を $f$ の右随伴という。
$$ f(x) \leq y \iff x \leq g(y)\quad (\forall x\in X,\ \forall y \in Y) $$
逆に、単調写像 $g$ に対して上記の式を満たす単調写像 $f$ を $g$ の左随伴という。
$f, g$ が上記の式を満たすことを $f \dashv g$ と書く。
随伴は逆写像の一般化になってる。逆写像はなくても随伴なら存在することがある。