$$ 1_{\bigcap_{i\in[n]} {A_i}^C} = \sum_{S\subseteq [n]} (-1)^{\lvert S \rvert} 1_{\bigcap_{i\in S} {A_i}} $$
指示関数による包除原理の証明 - ぱるまの日記
数え上げ測度で積分したら集合の要素数の包除原理になるし、確率測度で積分したら確率の包除原理になる。