二項係数の定義

$n$ が実数、$k$ が自然数のとき

$\displaystyle \binom{n}{k} = \frac{n(n-1)\cdots (n-k+1)}{k!}$

$k$ が自然数でない場合は？あまり興味ない？

（特に $k$ が負の場合はあんまり定義されないっぽい？）

二項係数の公式

■ 二項係数の式変形など

• $\displaystyle \binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$
• $\displaystyle \binom{n}{k} = \binom{n-1}{k} + \binom{n-1}{k-1}$
• $k\displaystyle\binom{n}{k} = n\binom{n-1}{k-1}$
• $\displaystyle \binom{n}{h}\binom{n-h}{k} = \binom{n}{k}\binom{n-k}{h}$
• $\displaystyle \frac{(a+b+c)!}{a!\ b!\ c!} = \binom{a}{a}\binom{a+b}{b} \binom{a+b+c}{c}$

■ 二項係数×なにかの和

• $\displaystyle \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}(-1)^k = 0^n$
• $\displaystyle \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} = 2^n$
• $\displaystyle \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}2^k = 3^n$
• $E_n$ を $0$ 以上 $n$ 未満の偶数全体、$O_n$ を $0$ 以上 $n$ 未満の奇数全体とする ($n\geq 1$) このとき、$\displaystyle \sum_{k\in E_n} \binom{n}{k} = \sum_{k\in O_n} \binom{n}{k} = 2^{n-1}$
• $\displaystyle \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} k = n2^{n-1}$
• $\displaystyle \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} k^2 =n(n+1) 2^{n-2}$
• $\displaystyle \sum_{k=d}^n \binom{n}{k}\binom{k}{d} = 2^{n-d}\binom{n}{d}$