■ 三角形の辺に関する三角不等式
$(a,b,c)$ が三角形の3辺になるための必要十分条件としては以下がある
- $a + b > c$ かつ $b + c > a$ かつ $c + a > b$
- $\lvert b - c \rvert < a < b + c$
■ トピック
- とくに $a\leq b \leq c$ とソートされている場合、または $c$ が最大値の場合は
$a + b > c$ が必要十分条件になる(ソートをすると条件が減る)
- $a + b + c = s$ の場合、$b + c > a$ は $a < s/2$ と同値
■ ノルムに関する三角不等式
$\lVert x + y \rVert \leq \lVert x \rVert + \lVert y \rVert$
(原点から生えた 3本のベクトル $x, y, x+y$ を考えると三角形ができる)
■ トピック
- もちろん絶対値でも成り立つ。
- 逆三角不等式
- $\lvert \lVert x \rVert - \lVert y \rVert \rvert \leq \lVert x + y \rVert \leq \lVert x \rVert + \lVert y \rVert$
■ 距離に関する三角不等式
$d(x,y) + d(y,z) \geq d(x,z)$