■ 三角形の辺に関する三角不等式

$(a,b,c)$ が三角形の3辺になるための必要十分条件としては以下がある

• $a + b > c$ かつ $b + c > a$ かつ $c + a > b$
• $\lvert b - c \rvert < a < b + c$

■ トピック

• とくに $a\leq b \leq c$ とソートされている場合、または $c$ が最大値の場合は $a + b > c$ が必要十分条件になる（ソートをすると条件が減る）
• $a + b + c = s$ の場合、$b + c > a$ は $a < s/2$ と同値

■ ノルムに関する三角不等式

$\lVert x + y \rVert \leq \lVert x \rVert + \lVert y \rVert$

(原点から生えた 3本のベクトル $x, y, x+y$ を考えると三角形ができる)

■ トピック

• もちろん絶対値でも成り立つ。
  • ABC334 C - Socks 2
• 逆三角不等式
  • $\lvert \lVert x \rVert - \lVert y \rVert \rvert \leq \lVert x + y \rVert \leq \lVert x \rVert + \lVert y \rVert$

■ 距離に関する三角不等式

$d(x,y) + d(y,z) \geq d(x,z)$