オイラーの定理: $n - m + f = 2$
- 辺を追加・削除したり、頂点とその頂点に接続する辺を削除しても $n - m + f$ は変わらない不変量になっている。いい感じに辺の追加・削除と頂点の削除をしていくと、最終的に三角形ができる。三角形では $n - m + f = 2$ が簡単に言える。
- 木も平面グラフで $f = 1$ である。
- $f = 1$ とオイラーの定理から $m = n -1$ が得られる
- もし面が2つ以上あれば閉路があることになる
$n\geq3$ の単純平面グラフについて、$m \leq 3 n - 6$ が成り立つ
- つまり、平面グラフの辺の数は十分小さく $O(|V|)$ である。
- 証明
平面グラフには次数5以下の頂点が存在する
- 証明
平面グラフの双対グラフ
平面グラフの (面, 辺) を (頂点, 辺) だと思ったグラフ（双対グラフ）を考える
以下が成り立つ
